Date premesse vere, la conclusione non può che esser vera. Quando ci troviamo in questa situazione abbiamo una conseguenza logica. Dato un certo insieme di proposizioni, non possono essere tutte vere. Quando ci troviamo in questa situazione abbiamo una contraddizione logica. Minimalismo logico… Anche la logica ha la sua corrente minimalista, come l’arte… infatti può accadere che un insieme di proposizioni che danno luogo a contraddizione sia tale per cui se togliamo una qualsiasi delle proposizioni, la contraddizione scompare, in questo caso si parla di insieme contraddittorio minimale. Una contraddizione evidente⁽¹⁾… forse… “Io sono calvo”, “Io non sono calvo”. Se le prendiamo insieme queste due proposizioni generano una contraddizione, evidente no? O uno è calvo o uno non lo è, giusto? Ora supponiamo di avere un insieme di n proposizioni, è chiaro che sarà abbastanza semplice capire se l’insieme è contraddittorio se almeno due di queste proposizioni danno origine ad una contraddizione evidente (certo se l’insieme di proposizioni è infinito, ehm ci potrebbe volere parecchio tempo a scoprirla… anche infinito tempo…). Non sempre però le contraddizioni sono evidenti, ovvero non sempre ci troviamo di fronte ad un contraddizione del tipo P e non(P) , e una possibile strategia per dimostrare che esiste comunque una contraddizione sarà quella di “lavorare” sull’insieme di proposizioni di partenza derivando varie conseguenze e controllare se alcune di queste danno luogo a contraddizioni evidenti oppure no. Contraddizioni basate su assunti impliciti⁽²⁾ In base a quanto detto prima abbiamo visto che alcune contraddizioni possono essere già presenti nell’insieme di proposizioni di partenza, ma non essendo evidenti c’è bisogno in un certo senso di farle venire allo scoperto. Tuttavia, può accadere anche che datoci un certo insieme di proposizioni ci rendiamo conto immediatamente che in esso è presente una contraddizione pur non essendo presente alcuna contraddizione evidente. In genere questo è dovuto al fatto che senza rendercene conto abbiamo preso in considerazione nel nostro ragionamento degli assunti impliciti, ovvero delle altre proposizioni che non sono presenti nell’insieme di partenza ma che consideriamo implicite in esso. Faccio un esempio per chiarire: “x è un corvo.” “x è bianco.” Bene questo insieme di proposizioni di per se non genera alcuna contraddizione. Ma qualcuno potrebbe obiettare che invece c’è una contraddizione, assumendo implicitamente che “Tutti i corvi sono neri”! Esplicitando tale premessa l’insieme di proposizioni in esame diverrebbe: “Per ogni x, se x è un corvo, allora x è nero” “x è un corvo.” “x è bianco.” A questo punto credo la maggior parte di noi affermerebbe con sicurezza che tale insieme di proposizioni è di per se contraddittorio, vorrei far notare che abbiamo tutti fatto un’ ulteriore assunzione implicita, ovvero che nero non sia bianco… Dalla contraddizione alla conseguenza e ritorno… Abbiamo detto che dato un insieme contraddittorio minimale, se togliamo una qualsiasi proposizione P, la contraddizione scompare. Ma c’è di più! Prendiamo l’insieme di proposizioni che ci è rimasto dopo avere tolto P e chiamiamolo I. Prendiamo P e neghiamola, avremo non(P). Bene, guarda caso non(P) è proprio conseguenza logica di I. Non solo ma se abbiamo un insieme di premesse A da cui deriva una conclusione C e aggiungiamo ad A la proposizione non(C) otterremo un insieme contraddittorio (minimale). Trasmissione della verità e retro-trasmissione⁽³⁾ della falsità… La conseguenza logica può essere spiegata anche dicendo che essa trasmette la verità dalla premesse alla conclusione, o se preferite che conserva la verità lungo tutto il ragionamento: partendo da premesse vere si arriva inevitabilmente a conclusioni vere. Ma cosa possiamo capire se ci imbattiamo in una conseguenza di un ragionamento falsa? Bene, se la premesse sono tutte vere e il ragionamento è corretto avremmo dovuto ottenere una conseguenza vera, ma ci troviamo invece di fronte ad una conseguenza falsa, quindi, ammesso che il ragionamento sia corretto, almeno una premessa deve esser falsa (perché se così non fosse e tutte le premesse fossero vere allora anche la conseguenza in cui ci siamo imbattuti dovrebbe esser vera). In un certo senso quindi è come se la falsità scoperta alla fine del ragionamento, cioè letteralmente alla sua conclusione, si ritrasmettesse all’indietro falsificando almeno una delle premesse.

---

(1) Gianni Rigamonti nel suo Corso di Logica, Bollati Boringhieri, Torino 2005, (Capitolo 2.4: I diversi tipi di contraddizione), usa “conclamato” dove io uso “evidente”, ho preferito tale terminologia perché mi sembrava più immediata anche se forse meno precisa. (2) vedi a nota precendente in questo caso leggi “non-entimematico” dove io scrivo implicito. (3) in Karl Popper, La ricerca non ha fine, Armando Editore, Roma 1997, (Sezione 32: Induzione, deduzione, verità oggetiva). Dario Antiseri nella versione italiana traduce con “ritrasmissione” una qualche espressione inglese dell’edizione originale, purtroppo non ho (ancora) sottomano tale edizione e ho preferito arbitrarimente utilizzare un’orrenda (ma credo chiara) “retro-trasmissione”, pur essendo profondamente tentato da una forse errata “retroazione”.