Abbiamo visto come applicando il “calcolo della verità” ci può capitare di incontrare delle formule logiche sempre vere, qualunque sia il valore di verità delle loro componenti di base. E abbiamo già visto che queste formule si chiamano tautologie. Nei prossimi giorni farò una panoramica su alcune tautologie per così dire “storiche”, e che mi sembrano interessanti. Prima però di poter fare ciò è necessario introdurre un altro operatore logico detto bicondizionale. Simboleggiato da una doppia freccia (↔), il bicondizionale si legge “se e solo se”, ed è una sorta di simbolo riassuntivo di questa formula: (P → Q) ∧ (Q → P) Esso indica in un certo senso che due proposizioni si implicano a vicenda così che se una vera lo è anche l’altra, e se l’una è falsa lo sarà anche l’altra. Mi spiego meglio: il bicondizionale sarà valido, cioè darà luogo a formule vere, quando e solo quando⁽¹⁾ le sue due componenti saranno entrambe vere o entrambe false, mentre sarà invalido, cioè darà luogo a formule false, quando e solo quando l’una componente è falsa mentre l’altra è vera o viceversa.

(P	→	Q)	∧	(Q	→	P)
F		F		F		F
F		V		V		F
V		F		F		V
V		V		V		V

Partendo dalla tabella precedente si calcolano i valori delle implicazioni:

(P	→	Q)	∧	(Q	→	P)
F	V	F		F	V	F
F	V	V		V	F	F
V	F	F		F	V	V
V	V	V		V	V	V

Quindi la congiunzione:

(P	→	Q)	∧	(Q	→	P)
F	V	F	V	F	V	F
F	V	V	F	V	F	F
V	F	F	F	F	V	V
V	V	V	V	V	V	V

E infine possiamo riassumere i risultati dei nostri calcoli nel modo seguente:

P	Q	P ↔ Q
F	F	V
F	V	F
V	F	F
V	V	V

Ora supponiamo che esista un lettore che legge questo blog con sufficiente attenzione da ricordare questo post. Questo lettore potrebbe notare che quando in genere noi confondiamo la mera implicazione “Se piove, allora prendo l’ombrello” con la doppia implicazione, cioè il bicondizionale “Prendo l’ombrello se e solo se piove”. Nel primo caso infatti io potrei prendere l’ombrello anche nel caso non piovesse, magari per riportarlo a qualcuno che me lo ha prestato n giorni prima in quanto pioveva. Nel secondo caso, ammesso che il bicondizionale dia luogo ad una formula vera, non accadrà mai che io prenda l’obrello se c’è il sole! Ma supponiamo ancora, supponiamo che il lettore di cui sopra, sia così curioso da provare a rivoltare il bicondizionale dell’esempio trasformanodolo in “Piove se e solo se prendo l’ombrello”. In quanto a logica, o meglio in quanto a valori di verità, non è cambiato nulla… in quanto a senso: credo sarebbe il sogno di ogni sciamano poter dire sincermente “Piove se e solo se faccio la mia danza della pioggia”, per carità lo dicono lo stesso, ma sono proprio ingenui oppure mentono sapendo di mentire.

---

(1) Forse qualcuno si sarà accorto che dire “quando e solo quando” oppure “se e solo se” è equivalente, ovvero che il bicondizionale un po’ truccato è finito dentro la sua medesima definizione: giochi di prestigio.