Ecco qui di seguito alcuni esempi di tautologie(1). Queste leggi sono tutte sempre vere nel senso del calcolo con le tavole di verità e chi non ci crede può farsi i calcoli per conto proprio… o andarsi a studiare le logiche non classiche…
Per ogni legge (o principio, i due termini sono sinonimi in questo caso) presenterò lo schema simbolico e alcune possibili esemplificazioni (mi permetto una certa flessibilità linguistica nella traduzione dal linguaggio simbolico a quello umano).
- Legge della doppia negazione
- P ↔ ¬¬P
- “‘La mela è rossa’ se e solo se non(non(’La mela è rossa’) “
- ovvero: “La mela è rossa se e solo se non accade che essa non sia rossa”
- “La terra gira intorno al sole se e solo se non accade che non giri intorno al sole”
- “Il mondo fa schifo se e solo se non è vero che sia bello” (dove bello è da intendersi come negazione “non schifo”, quindi in bello dobbiamo far rientrare anche passabile, così così, ecc.)
- “Noi siamo umani se e solo se non siamo non umani”
- Principio di non contraddizione
- ¬ (P ∧ ¬P)
- “non ( ‘La carne è buona’ e ‘La carne non è buona’)”
- ovvero: “Non si da che la carne sia buona e non buona contemporaneamente”
- “Non può essere che tu sia colpevole e non colpevole insieme”
- “Non accade che un fenomeno accada e non accada al medesimo tempo”
- Principio del terzo escluso
- P ∨ ¬P
- “‘Tu sei vivo’ oppure ‘Tu non sei vivo’”
- ovvero: “Tu puoi essere vivo oppure non vivo oppure entrambi, ma non qualcos’altro”
- Si ricordi infatti che la disgiunzione in logica ha valore inclusivo:
A ∨ B sta per “A o B o entrambi”
Nella famosa battuta “Vivo o morto, tu verrai con me” invece quel “Vivo o morto” è usato in senso esclusivo, lo stato “vivo” e lo stato “morto” sono incompatibili, questa condizione in logica classica si rende simbolicamente così:
(A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)
- Principio di identità
- P → P
- “‘Il sole è caldo’ implica che ‘ Il sole è caldo’”
- ovvero: “Se il sole è caldo, allora il sole è caldo”
- “Se la luna è una dea, allora la luna è una dea”
- “Se la terra è piatta, allora la terra è piatta”
- Ex falso sequitur quodlibet (Dal falso segue qualsivoglia conclusione)
- ¬P → (P → Q)
- “non(’La terra è piatta’) implica che (se ‘La terra è piatta’ allora ‘Il Papa è una persona pia’)”
- ovvero “E’ vero che la terra non sia piatta, da cui segue che, se affermo che la terra invece è piatta, cioè affermo il falso, allora ne segue qualsiasi asserzione, per esempio che il papa è una persona pia, e il mio ragionamento è sempre corretto”
- Un’altra versione di questa legge (che incorpora in un certo senso il principio di non contraddizione) è la seguente:
- (P∧¬P) → Q
- “Se ‘io sono buono’ e ‘io non sono buono’, allora ‘il pianeta Marte è un zucca trainata da topi azzurri’”
- Quindi da una contraddizione è possibile ricavare qualsiasi proposizione e la nostra inferenza sarà sempre corretta! Ma c’è di più, sarà possibile anche ricavare una nuova contraddizione e la nostra inferenza sarà corretta:
(P∧¬P) → (Q∧¬Q)
- Verum sequitor a quolibet (Il vero segue da qualsivoglia proposizione)
- P→(Q→P)
- “‘Biancaneve è il personaggio di una fiaba’ implica che, se ‘ho visto un corvo rosa’ allora ‘Biancaneve è il personaggio di una fiaba’”
- ovvero: “Se è vero che Biancaneve è il personaggio di una fiaba, allora da una qualsiasi proposizione, per esempio ‘ho visto un corvo rosa’, si può dedurre correttamente che Biancaneve è il personaggio di una fiaba”
- Questa legge è particolarmente interessante perché ci mostra come sia possibile partendo da un dato vero, inventarci alle spalle una qualsiasi “giustificazione” senza mai incorrere in un errore di ragionamento.
“L’universo esiste, quindi posso dedurre che se un coniglio verde gigante rosicchia gli asteroidi del sistema solare allora l’universo esiste”
- Consequentia mirabilis
- (¬P → P) → P
- “‘Non esiste una verità assoluta’ implica che ‘Esiste una verità assoluta’, quindi ‘Esiste una verità assoluta’”
- ovvero: “Se affermo che non esiste una verità assoluta, dato che questa sarebbe una verità assoluta, non posso che dedurre che esiste una verità assoluta”
- Ammetto di avere un poco imbrogliato perché ho utilizzato il quantificatore “Esiste”… ma lo schema è comunque lo stesso…
Si noti che questa legge non sembra funzionare altrettanto bene in altri casi:
- “Se ‘La vita non è un puffo’ allora ‘La vita è un puffo’, cui segue che ‘la vita è un puffo”
- “Se ‘La morte non esiste’ allora ‘La morte esiste’, cui segue che ‘La morte esiste’”
- “Se ‘Dio non esiste’ allora ‘Dio esiste’, cui segue che ‘Dio esiste’”
- “Se ‘Dio esiste’ allora ‘Dio non esiste’, cui segue che ‘Dio non esiste’”
Eppure anche questi esempi sono sempre veri…
- Legge di contrapposizione
- (P → Q) → (¬Q → ¬P)
- “‘Se piove allora prendo l’ombrello’ da cui ‘Se non prendo l’ombrello, allora non piove’”
- Questa l’avevamo già vista qui
- Riduzioni all’assurdo
- (P → ¬P) → ¬P (debole)
- “Mi piacciono le fragole implica che non mi piacciono le fragole, quindi non mi piacciono le fragole”
- (P → (Q ∧ ¬Q)) → ¬P (debole)
- “Mi piacciono le fragole implica che la luna è fatta di formaggio e non è fatta di formaggio, quindi non mi piacciono le fragole”
- (¬P → (Q ∧ ¬Q)) → P (forte)
- “Non mi piacciono le fragole implica che la luna è fatta di formaggio e non è fatta di formaggio, quindi mi piacciono le fragole”
Immagino a questo punto che, se esiste ancora un lettore di questo blog, allora sarà sempre più convinto che la logica sia una strada che porta inevitabilmente verso al follia… come dargliene torto…