Le leggi di De Morgan sono piuttosto famose tra le tautologie. Possono essere formulate come segue:

1° Legge: ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q
2° Legge: ¬(P ∨ Q) ↔ ¬P ∧ ¬Q
3° Legge: P ∧ Q ↔ ¬(¬P ∨ ¬Q)
4° Legge: P ∨ Q ↔ ¬(¬P ∧ ¬Q)

Circa un anno e mezzo fa mentre stavo studiando queste leggi ho scoperto un trucco mnemonico per facilitarne l’apprendimento. Esso si basa sulle simmetrie interne delle quattro leggi. E’ possibile infatti osservare le seguenti regolarità:

• a sinistra vi è una congiunzione se e solo se a destra vi sarà una disgiunzione
• a sinistra vi è una disgiunzione se e solo se a destra vi sarà una congiunzione
• a sinistra vi è negazione dell’intera proposizione complessa se e solo se a destra non vi è tale negazione
• a sinistra non vi è negazione dell’intera proposizione complessa se e solo se a destra vi è tale negazione
• a sinistra vi è negazione di entrambe le proposizioni atomiche se e solo se a destra non vi è tale negazione
• a sinistra non vi è negazione di entrambe le proposizioni atomiche se e solo se a destra vi è tale negazione

Queste osservazioni possono essere riassunte graficamente nella seguente regola mnemonica:

{…} ( {…}P {…} {…}Q ) ↔ {…} ( {…}P {…} {…}Q )

Viola, rosso e giallo stanno per presenza/assenza di una negazione,
il verde sta per congiunzione/disgiunzione,
quel che sta a sinistra non va a destra, quel che non sta a sinistra va a destra.

Dalla regola curiosamente si possono ricavare altre quattro leggi, anch’esse tautologiche:

5° Legge: ¬(¬P ∧ Q) ↔ P ∨ ¬Q
6° Legge: ¬(¬P ∨ Q) ↔ P ∧ ¬Q
7° Legge: ¬P ∧ Q ↔ ¬(P ∨ ¬Q)
8° Legge: ¬P ∨ Q ↔ ¬(P ∧ ¬Q)