La definizione matematica di relazione è “un qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano di un insieme per se stesso”. E’ una definizione molto bella per chi abbia sviluppato il senso estetico dell’algebra astratta, purtroppo però per essere compresa necessita di conoscerne alcune premesse insiemistiche di cui ora non ho intenzione di parlare.
Rinunciare ad una definizione rigorosa non comporta tuttavia che non si possa ugualmente parlare di relazioni. Tutti noi abbiamo una qualche nozione di relazione. Per esempio in ambito umano esistono relazioni sentimentali, di amicizia, di lavoro, familiari, che sono appunto
relazioni, oppure guardando al tempo abbiamo per esempio relazioni di coincidenza, di anteriorità o di posteriorità. Penso quindi che si possa asserire con tranquillità che tutti noi sappiamo cosa sia una relazione.
Una caratteristica delle relazioni matematicamente intese è che esse sono sempre definite in un certo insieme, mentre quando si estenda il concetto per coprire relazioni tra elementi di insiemi diversi si preferisce chiamarle corrispondenze. Questa distinzione per quanto comunemente accettata ed in uso non è però secondo me così fondamentale, in fondo anche le corrispondenze possono essere definite come sottoinsiemi del prodotto cartesiano (in questo caso tra insiemi diversi anziché del medesimo insieme con se stesso).
Bene, poniamo di avere due amici di nome Giuseppe Garibaldi e Ana Maria de Jasus Ribeiro e che tra loro vi sia una relazione (amorosa), diremo che “Giuseppe e Anita stanno insieme”.
Ora sostituiamo “Giuseppe” e “Anita” con lui e lei: “Lui e lei stanno insieme”. Che cosa è cambiato? Che in testa nostra sarà ancora chiaro di chi stiamo parlando, ma la persona cui dicessimo la nostra frase dovrebbe interpretare alla luce del contesto chi sono questi lui e lei. Senza interpretazione tuttavia non potremmo sapere di chi si parla e la nostra asserzione avrebbe un carattare generico.
Operando una nuova sostituzione si può dire “x ed y stanno insieme”. La proposizione diviene ancora più generica, non abbiamo più informazioni sul genere dei due partecipanti alla relazione e questo comporta che nemmeno il concetto di ’stare insieme’ sia più così chiaro. Potremmo dire per essere più espliciti “x ed y hanno una relazione amorosa”, questo chiarirebbe alcune cose, ma non ci garantirebbe più che tale relazione fosse tra un lui e una lei.
Infine possiamo trasformare la nostra proposizione in questa formula R(x, y), dove R viene intepretata come il predicato “avere una relazione amorosa” ed x, y sono elementi di un qualche insieme, per esempio quello degli esseri umani. Ma potremmo anche porre che x appartenga all’insieme degli uomini e y a quello delle donne. In questo caso R più che una relazione sarebbe una corrispondenza, ma a questo livello un tale zelo lessicale è forse come dicevo superfluo.
Arrivati a questo punto facciamo ancora un’assunzione: che x ed y siano due variabili che rappresentano elementi appartenenti sempre al medesimo insieme, insieme che chiamiamo
universo. Questo significa che possiamo sostituire x ed y con qualsiasi elemento del nostro universo. Ma come abbiamo visto poco fa, non solo gli individui possono essere rappresentati dalle variabili, ma anche le relazioni. Prendiamo allora una certa relazione P(x, y). Essa potrebbe essere interpretata per esempio come “x e y sono sposati”, “x e y lavorano insieme”, “x è accaduto insieme ad y”. Ovvero la relazione può essere interpretata come tanti diversi predicati.
Ma a ben vedere perché non considerare anche “x bacia y” come una relazione? Certo di norma la chiameremmo azione, più che non relazione, ma con un’ poca di elasticità… E così arriviamo ad una equivalenza, in un certo senso, tra predicati e relazioni, nel senso che ad ogni predicato possiamo far corrispondere una relazione e viceversa.
Non solo, ma come una relazione tra due elementi di un insieme può esistere oppure no, così un predicato può essere vero o falso, e possiamo legare le due cose dicendo che ogni predicato asserisce una relazione, ed è vero qualor tale relazione sussista, falso qualora essa non sussista. In simboli:
P(x, y) ↔ R(x, y)
dove P è un qualsiasi predicato (binario) in un qualsiasi universo di discorso ed R è una qualsiasi relazione (binaria) in un qualsiasi insieme.
In questo post mi sono limitato a relazioni e predicati binari, ovvero con due argomenti, o oggetti. Ma questo non è necessario, è possibile pensare relazioni con infiniti argomenti e perché anche a predicati di tal fatta (anche se nel linguaggio naturale sarà difficile trovare esempi del genere e bisognerà magari inventarsi espressioni ad hoc pre esprimerli). Interessante è anche il caso in cui il predicato sia ad un solo posto di argomento P(x), come in “x è grande”: in tali casi più che di relazioni parliamo allora di proprietà.