Nei posts precedenti ho parlato abbastanza estesamente di relazioni e di come queste si posso far corrispondere ai predicati. Oggi vorrei accennare alle operazioni. In genere i manuali di matematica prima introducono gli insiemi, poi i prodotti cartesiani, quindi le corrispondenze tra insiemi come sottoinsiemi del prodotto cartesiano e infine relazioni e funzioni. Dopo qualche capitolo si passa a spiegare come le operazioni non siano altro che funzioni. A parer mio però è molto più naturale parlare da subito di relazioni e di operazioni, queste seconde più semplici da afferrare rispetto alle funzioni per l’ovvia ragione che si imparano ad eseguire fin dalla scuola elementare. Presuppongo quindi che tutti qui (indubbiamente una moltitudine…) sappiano in buona sostanza che cos’è un’operazione. Vorrei aggiungere solo qualche dettaglio… 2 + 2 = 4 , “Due più due uguale quattro” Si lo so, forse l’esempio di matematica più usato sul pianeta… per prima cosa però notiamo che oltre al simbolo di addizione ‘ + ‘ c’è anche un simbolo di uguagliana ‘ = ‘ , l’uguaglianza tuttavia è un particolare genere di relazione, quindi nella nostra espressione abbiamo un’operazione, l’addizione, ed una relazione, l’uguaglianza. E’ possibile invece indicare l’operazione con una segnatura completamente sua, rendendola indipendente dall’uguaglianza? 2 + 2 ? 4 , “Due più due fa quattro” Vi ricordate questo segno ‘ → ‘ ? Lo abbiamo usato in logica per il connettivo estensionale “implica”. Qui lo usiamo in senso diverso, lo usiamo per esprimere in modo esplicito cosa fa la nostra addizione. Ora un’altra piccola modifica. Per indicare cha a 2 si somma 2 abbiamo usato quel segno ‘ + ‘ infilato tra i due numeri. Ma nessuno ci impedisce di cambiare la nostra notazione e scrivere per esempio: SOMMA(2, 2) → 4 L’importante qui è mantenere l’ordine degli operandi (nel nostro esempio numeri). Magari in questo esempio se ne capisce poco la ragione perché in fondo 2 viene sommato con 2 e inoltre l’addizione è commutativa, quindi cambiando l’ordine degli addendi la somma non cambia. Vediamo perciò un altro esempio dove l’ordine conta: DIVIDI(8, 2) → 4 DIVIDI(2, → 0.25 Bene, tutte queste operazioni hanno due argomenti in entrata e un risultato in uscita, per questo vengono dette binarie. Ma potremmo immaginare operazioni diverse che dato un argomento in entrata danno un risultato in uscita (unarie), o dati tre argomenti in entrata danno sempre un risultato in uscita (ternarie) e via dicendo. L’importante non è tanto il numero di argomenti in entrata, ma piuttosto il risultato univoco in uscita. Mi spiego, 2 + 2 può fare solo 4 non può fare 5, 6, 20′732 o altro, insomma non può dare risultati a casaccio e (almeno per ora) non può che dare uno e un solo risultato. Questo non vuol dire che diverse coppie (o n-uple) di argomenti non possano dare il medesimo risultato (2 + 2 = 1 + 3 = 4), piuttosto significa che data una certa coppia (n-upla) di argomenti essa darà sempre uno ed un solo risultato (e sempre quello per giunta!). Infine facciamo un esempio non numerico per mostrare che il concetto di operazione si può applicare anche ad altri campi della vita. Prendiamo l’atto di fare l’amore. Esso può essere stilizzato come l’operazione binaria che ha come argomenti un uomo e una donna (per ora tralasciamo l’evoluzioni permesse dalle tecniche più moderne) e che produce come risultato un altro essere umano__ che per inciso non è mai perfettamente uguale ad alcuno dei due argomenti… ACCOPPIA ( Marco-Y, Giulia-X) → Roberta-Y ( ho supposto una derivazione patrilineare del cognome…) E’ interessante notare che non tutti gli accoppiamenti (per usare un termine da zoologi…) necessariamente risultano in un figlio o in una figlia, sia perché possono risultare in zero figli, sia perché possono invece nascere dei gemelli. Gestire lo zero non è un problema così grave, infatti se nascono zero figli comunque il risultato è univoco, non è possibile che nascano zero figlio e 1 figlio contemporaneamente. ACCOPPIA ( Marco-Y, Giulia-X) → nessuno (dove nessuno è una sorta di costante) Con i gemelli le cose si complicano, infatti dobbiamo introdurre il concetto di coppia ordinata anche a destra: ACCOPPIA ( Marco-Y, Giulia-X) → (Roberta-Y, Sofia-Y) In questo caso ad essere univoco non è più l’individuo, ma la coppia (ordinata) risultante. Questo però generebbe un problema se volessimo mantenere la medesima notazione in tutte le operazioni, cioè se volessimo avere a destra sempre esclusivamente individui o coppie (n-uple) ordinate. Ponendo che da un unico accoppiamento non possano nascere più di 5 gemelli dovremmo notare una figlia unica così: ACCOPPIA ( Marco-Y, Giulia-X) → (Roberta-Y, nessuno, nessuno, nessuno, nessuno) Una notazione pesante di cui si può volentieri fare a meno all’atto pratico (in tutti i sensi…). Infine osserviamo che in tutti i nostri esempi le operazioni avvengono all’interno di un insieme (dei numeri reali o degli esseri umani), ma potrebbe capitare in linea teorica che il risultato non appartenga al medesimo insieme cui appartengono gli argomenti, in questo caso le operazioni si dicono esterne, mentre le altre si dicono interne. Una volta spiegate le operazioni in tal modo, sinceramente non vedo altra necessità per spiegare le funzioni se non dire che esse coincidono con le operazioni, non sarà un modo rigoroso di definirle per carità, ma credo sia più facilmente accessibile.