Mi scrive Lúcio dal Brasile per chiedere dei consigli di logica. Innanzi tutto ti ringrazio molto per i tuoi gentili complimenti anche se ti invito sempre a prendere il mio materiale con spirito critico perché anch’io come chiunque altro posso sbagliare. In ogni caso ho deciso di scrivere un intero post per rispondere alle tue domande in modo da essere quanto più esauriente possibile. Spero infine che il mio italiano sia per te facilmente comprensibile, purtroppo non sono in grado di scrivere in portoghese, e comunque ti faccio i complimenti per il tuo italiano che salvo qualche imprecisione è molto buono.

Terminati i preamboli veniamo ai quesiti.

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Partiamo dal secondo (ho cambiato la denominazione delle opzioni per rendere più chiara la mia successiva esposizione questo ovviamente non incide sulla forma del quesito):

Davanti all’assunzione di questa proposizione “Se prende il veleno, allora morirà.” come una sentenza vera, quale tra le proposizioni seguenti è vera:
r1) Lui non ha preso il veleno, allora non morirà.
r2) Lui non è morto, allora ha preso il veleno.
r3) Lui è morto, allora ha preso il veleno.
r4) Lui ha preso il veleno, allora non morirà.

Tu hai scelto (r2) e il professore ha confermato questa tua risposta come corretta. Poi però ti sono venuti dei dubbi circa la formulazione che il professore ha dato del quesito, in particolare ti risulta strano l’uso della costruzione “se… allora…” per delle proposizioni quando forse abbiamo a che fare con dei ragionamenti. Questo grossomodo il problema generale.

Allora cercherò di scomporre la trattazione in due parti, la prima relativa alla formulazione del quesito e la seconda invece relativa alla risoluzione della “sostanza” del quesito stesso.

(Ri-)Formulazione del quesito

Si, il quesito è formulato male anche se per ragioni diverse da quelle che hai pensato tu. Non so se sia un problema di traduzione, ma assumendo che la tua traduzione sia corretta (effettivamente c’erano degli errori di ortografia di poco conto ma quelli li ho già corretti io) ci sono dei vizi di forma.

1. Nella proposizione “Se prende il veleno, allora morirà” il soggetto non è esplicitato, potrebbe essere un “lui” ma anche una “lei” e non c’è alcuna garanzia che il soggetto di tale proposizione sia anche quello delle proposizioni (r1), (r2), (r3) ed (r4). Il buon senso ci dice che il professore probabilmente intende che tutte e cinque le proposizioni come aventi il medesimo soggetto, anche perché altrimenti non vedo proprio come si potrebbe dare una risposta al quesito e bisognerebbe lasciarlo in bianco. A voler essere precisi quindi il quesito andrebbe riformulato nel modo seguente:

Davanti all’assunzione di questa proposizione “Se x prende il veleno, allora x morirà.” come una sentenza vera, quale tra le proposizioni seguenti è vera:
r1) x non ha preso il veleno, allora x non morirà.
r2) x non è morto, allora x ha preso il veleno.
r3) x è morto, allora x ha preso il veleno.
r4) x ha preso il veleno, allora x non morirà.

2. C’è confusione con i tempi verbali. La proposizione “Se prende il veleno, allora morirà” potrebbe essere resa in simboli nel modo seguente:
a -> b
dove
“a” corrisponde a “prende il veleno” e “b” corrisponde a “morirà”
e fino a qui tutto bene, vediamo però le quattro opzioni tra cui dovremmo scegliere quella vera in simboli:
r1) ¬c -> ¬b
r2) ¬d -> c
r3) d -> c
r4) c -> ¬b
dove
“c” corrisponde a “x ha preso il veleno”
“d” corrisponde a “x è morto”
Ora è chiaro che assunta
a -> b
come vera non è possibile stabilire quale tra (r1), (r2), (r3) ed (r4) sia vera perché (r1), (r2), (r3) ed (r4) introducono nuove proposizioni!

Certo le proposizioni “c” e “d” sono implicitamente (entimematicamente per essere più tecnici) collegate ad “a” e “b” ma per rendere esplicito tale collegamento al fine del calcolo logico dovremmo esplicitare delle parti di ragionamento che mancano e senza nemmeno avere garanzia di successo, per cui io molto più semplicemente riformulerei nuovamente il quesito aggiustando i tempi verbali in modo da avere due sole proposizioni atomiche:

Davanti all’assunzione di questa proposizione “Se x ha preso il veleno, allora x muore.” come una sentenza vera, quale tra le proposizioni seguenti è vera:
r1) x non ha preso il veleno, allora x non muore.
r2) x non muore, allora x ha preso il veleno.
r3) x muore, allora x ha preso il veleno.
r4) x ha preso il veleno, allora x non muore.

A questo punto abbiamo solo due proposizioni atomiche
“a” che corrisponde a “x ha preso il veleno”
“b” che corrisponde a “x muore”
e il nostro quesito tradotto in simboli diviene il seguente
assunta
a -> b
come vera, quale tra
r1) ¬a -> ¬b
r2) ¬b -> a
r3) b -> a
r4) a -> ¬b
è vera?

(Ri-)Soluzione del quesito

Detto tutto questo possiamo finalmente passare alla seconda fase, la soluzione!

Mi spiace ma assunta
a -> b
come vera nessuna tra (r1), (r2), (r3) ed (r4) può essere stabilita come vera.
Infatti assunta
a -> b
come vera è possibile ricavare con il modus tollens la seguente
r2*) ¬b -> ¬a
mentre non è possibile stabilire come vera nessuna tra (r1), (r2), (r3) ed (r4). Vediamo in dettaglio:
r1) non è sicura, infatti io so solo che “a -> b” ma non so cosa succede se mi trovo di fronte a “¬a” a quel punto potrebbe valere “b” o “¬b” non lo so, diverso sarebbe stato se avessimo preso per vera all’inizio “a ↔ b” cioè se avessimo assunto una doppia implicazione, ma non l’abbiamo fatto
r2) invece è proprio falsa infatti ” ¬b -> a ” e ” ¬b -> ¬a ” non possono essere contemporaneamente vere, ma noi sappiamo che ” ¬b -> ¬a ” è vera in quanto l’abbiamo dedotta con il modus tollens da ” a -> b ” che abbiamo assunto come vera, quindi ” ¬b -> a ” è falsa
r3) anche qui non abbiamo niente per dire che “b -> a” il discorso è simile a quello per (r1)
r4) questa è palesemente falsa perché ” a -> ¬b ” a ” a -> b ” non possono essere vere entrambe contemporaneamente ed abbiamo già assunto “a -> b” come vera quindi ” a -> ¬b ” è falsa.

La mia ipotesi è che tu abbia riportato il quesito in modo errato, ovvero che (r2) (elencata come (b) nel tuo commento) non fosse
b) Lui non è morto, allora ha preso il veleno.
ma
b) Lui non è morto, allora non ha preso il veleno.
corrispondente dopo le riformulazioni a quella che io ho indicato come (r2*)

Se la mia ipotesi è corretta e tu hai fatto tale errore di battitura dimenticandoti quel “non”, allora confermo anch’io come ha fatto il professore che la risposta giusta è (b) o (r2*) nel mio elenco, cioè quella che hai segnato tu.
La (ri-)formulazione finale del quesito dovrebbe essere la seguente:

Davanti all’assunzione di questa proposizione “Se x ha preso il veleno, allora x muore.” come una sentenza vera, quale tra le proposizioni seguenti è vera:
r1) x non ha preso il veleno, allora x non muore.
r2*) x non muore, allora x non ha preso il veleno.
r3) x muore, allora x ha preso il veleno.
r4) x ha preso il veleno, allora x non muore.

e la risposta corretta è (r2*).

Per quanto riguarda invece i dubbi formali che ti ponevi.

1. La forma “se… allora…” può essere usata tranquillamente per rendere l’implicazione materiale simboleggiata da ” -> ” o meglio ” → ” che può essere resa in italiano anche con “… implica che… ” o anche con “… allora… ” senza il “se” o addirittura con “da… segue che…” ecc. Forse il tuo dubbio nasce dal fatto che spesso si usa “se… allora…” per leggere questo simbolo ” ⇒ ” che viene in genere usato per rappresentare l’implicazione nel meta-linguaggio mentre in genere ” → ” si legge con “… implica che…” e viene usato per rendere l’implicazione nel linguaggio oggetto, ma questa convenzione, che è in genere rispettata per i due simboli (” → ” per il linguaggio oggetto e ” ⇒ ” per il meta-linguaggio), non è comunque così rigida e dipende un po’ dagli autori che in genere decidono come usare i simboli all’inizio dei loro manuali, per come poi quei simboli si possano leggere e “tradurre” in italiano (o inglese o portoghese) lì la convenzione è ancora meno rigida.

2. Sempre un problema di distinzione tra linguaggio e meta-linguaggio è anche quello che poni circa proposizioni e ragionamenti. Per prima cosa diciamo che il professore ha ragione a parlare di proposizioni, quelle che a te sembrano ragionamenti sono davvero proposizioni come dice il professore tuttavia non sono proposizioni atomiche (quelle che io ho indicato con “a” e “b” per esempio) ma sono proposizioni composte (cioè formate da proposizioni atomiche e da operatori logici, ” → ” e ” ¬ “). Tuttavia l’intero quesito è posto non come una proposizione ma come un ragionamento, per la precisione l’intero quesito è formato da un insieme di proposizioni nel meta-linguaggio e di proposizioni nel linguaggio oggetto.

Per l’esattezza:
“Se x ha preso il veleno, allora x muore.”
“x non ha preso il veleno, allora x non muore.”
“x non muore, allora x non ha preso il veleno.”
“x muore, allora x ha preso il veleno.”
“x ha preso il veleno, allora x non muore.”
sono proposizioni nel linguaggio oggetto tutto il resto è meta-linguaggio.

Ora per distinguere meglio linguaggio e meta-linguaggio si possono usare vari metodi, il tuo professore ha usato le virgolette per la prima proposizione del linguaggio oggetto e una lista ordinata per le altre quattro. E’ un metodo, ce ne sono altri magari graficamente più chiari, ma comunque la formulazione del professore sotto questo punto di vista mi sembra accettabile (quelli che invece mi sembrano vizi formali un po’ più seri li ho già spiegati sopra).

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Passiamo ora al primo quesito di cui mi parlavi, quello che hai sbagliato scegliendo la quarta opzione anziché la terza.

La proposizione “Se il rispetto è buono, allora io lo esigo” è equivalente a:
r1) Io non esigo che il rispetto sia buono.
r2) Il rispetto né è buono, né io lo esigo.
r3) Il rispetto non è buono oppure io lo esigo.
r4) Nego che se il rispetto è buono, allora io non lo esigo.

Lo riformulo per renderlo più chiaro e per preparare il terreno alla resa in simboli.

La proposizione “Se il rispetto è buono, allora io esigo il rispetto” è equivalente a:
r1) Io non esigo che il rispetto sia buono.
r2) Il rispetto non è buono, e io non esigo il rispetto.
r3) Il rispetto non è buono oppure io esigo il rispetto.
r4) Nego che se il rispetto è buono, allora io non esigo il rispetto.

Traduciamo in simboli.

a -> b
con “a” corrispondente a “il rispetto è buono”
e “b” corrispondente a “io esigo il rispetto”.
Poi abbiamo le quattro opzioni
r1) c
r2) ¬a ∧ ¬b
r3) ¬a ∨ b
r4) ¬(a -> ¬b)

Lasciando da parte (r1) che è una proposizione completamente diversa ed è stata messa lì solo per trarre in inganno, costruendo le tavole di verità si vede chiaramente come anche in questo caso abbia ragione il professore

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Caro Lúcio grazie per i tuoi quesiti mi dispiace di avere riconfermato la valutazione del professore ma spero che questa mia risposta possa comunque esserti utile. In ogni caso non ti abbattere anche se hai fatto un errore, in logica capita spesso non solo a noi ma anche agli scienziati naturali, ai matematici e ai filosofi. Comunque se ti interessa la logica oltre le anguste pareti della logica classica si aprono gli spazi delle logiche del primo e secondo ordine, delle logiche modali e di un sacco di altre meraviglie di cui io personalmente ho sentito solo qualche racconto come di terre lontane e inesplorate, o quasi. Buon viaggio!

Nei posts precedenti ho parlato abbastanza estesamente di relazioni e di come queste si posso far corrispondere ai predicati. Oggi vorrei accennare alle operazioni. In genere i manuali di matematica prima introducono gli insiemi, poi i prodotti cartesiani, quindi le corrispondenze tra insiemi come sottoinsiemi del prodotto cartesiano e infine relazioni e funzioni. Dopo qualche capitolo si passa a spiegare come le operazioni non siano altro che funzioni. A parer mio però è molto più naturale parlare da subito di relazioni e di operazioni, queste seconde più semplici da afferrare rispetto alle funzioni per l’ovvia ragione che si imparano ad eseguire fin dalla scuola elementare. Presuppongo quindi che tutti qui (indubbiamente una moltitudine…) sappiano in buona sostanza che cos’è un’operazione. Vorrei aggiungere solo qualche dettaglio… 2 + 2 = 4 , “Due più due uguale quattro” Si lo so, forse l’esempio di matematica più usato sul pianeta… per prima cosa però notiamo che oltre al simbolo di addizione ‘ + ‘ c’è anche un simbolo di uguagliana ‘ = ‘ , l’uguaglianza tuttavia è un particolare genere di relazione, quindi nella nostra espressione abbiamo un’operazione, l’addizione, ed una relazione, l’uguaglianza. E’ possibile invece indicare l’operazione con una segnatura completamente sua, rendendola indipendente dall’uguaglianza? 2 + 2 ? 4 , “Due più due fa quattro” Vi ricordate questo segno ‘ → ‘ ? Lo abbiamo usato in logica per il connettivo estensionale “implica”. Qui lo usiamo in senso diverso, lo usiamo per esprimere in modo esplicito cosa fa la nostra addizione. Ora un’altra piccola modifica. Per indicare cha a 2 si somma 2 abbiamo usato quel segno ‘ + ‘ infilato tra i due numeri. Ma nessuno ci impedisce di cambiare la nostra notazione e scrivere per esempio: SOMMA(2, 2) → 4 L’importante qui è mantenere l’ordine degli operandi (nel nostro esempio numeri). Magari in questo esempio se ne capisce poco la ragione perché in fondo 2 viene sommato con 2 e inoltre l’addizione è commutativa, quindi cambiando l’ordine degli addendi la somma non cambia. Vediamo perciò un altro esempio dove l’ordine conta: DIVIDI(8, 2) → 4 DIVIDI(2, → 0.25 Bene, tutte queste operazioni hanno due argomenti in entrata e un risultato in uscita, per questo vengono dette binarie. Ma potremmo immaginare operazioni diverse che dato un argomento in entrata danno un risultato in uscita (unarie), o dati tre argomenti in entrata danno sempre un risultato in uscita (ternarie) e via dicendo. L’importante non è tanto il numero di argomenti in entrata, ma piuttosto il risultato univoco in uscita. Mi spiego, 2 + 2 può fare solo 4 non può fare 5, 6, 20′732 o altro, insomma non può dare risultati a casaccio e (almeno per ora) non può che dare uno e un solo risultato. Questo non vuol dire che diverse coppie (o n-uple) di argomenti non possano dare il medesimo risultato (2 + 2 = 1 + 3 = 4), piuttosto significa che data una certa coppia (n-upla) di argomenti essa darà sempre uno ed un solo risultato (e sempre quello per giunta!). Infine facciamo un esempio non numerico per mostrare che il concetto di operazione si può applicare anche ad altri campi della vita. Prendiamo l’atto di fare l’amore. Esso può essere stilizzato come l’operazione binaria che ha come argomenti un uomo e una donna (per ora tralasciamo l’evoluzioni permesse dalle tecniche più moderne) e che produce come risultato un altro essere umano__ che per inciso non è mai perfettamente uguale ad alcuno dei due argomenti… ACCOPPIA ( Marco-Y, Giulia-X) → Roberta-Y ( ho supposto una derivazione patrilineare del cognome…) E’ interessante notare che non tutti gli accoppiamenti (per usare un termine da zoologi…) necessariamente risultano in un figlio o in una figlia, sia perché possono risultare in zero figli, sia perché possono invece nascere dei gemelli. Gestire lo zero non è un problema così grave, infatti se nascono zero figli comunque il risultato è univoco, non è possibile che nascano zero figlio e 1 figlio contemporaneamente. ACCOPPIA ( Marco-Y, Giulia-X) → nessuno (dove nessuno è una sorta di costante) Con i gemelli le cose si complicano, infatti dobbiamo introdurre il concetto di coppia ordinata anche a destra: ACCOPPIA ( Marco-Y, Giulia-X) → (Roberta-Y, Sofia-Y) In questo caso ad essere univoco non è più l’individuo, ma la coppia (ordinata) risultante. Questo però generebbe un problema se volessimo mantenere la medesima notazione in tutte le operazioni, cioè se volessimo avere a destra sempre esclusivamente individui o coppie (n-uple) ordinate. Ponendo che da un unico accoppiamento non possano nascere più di 5 gemelli dovremmo notare una figlia unica così: ACCOPPIA ( Marco-Y, Giulia-X) → (Roberta-Y, nessuno, nessuno, nessuno, nessuno) Una notazione pesante di cui si può volentieri fare a meno all’atto pratico (in tutti i sensi…). Infine osserviamo che in tutti i nostri esempi le operazioni avvengono all’interno di un insieme (dei numeri reali o degli esseri umani), ma potrebbe capitare in linea teorica che il risultato non appartenga al medesimo insieme cui appartengono gli argomenti, in questo caso le operazioni si dicono esterne, mentre le altre si dicono interne. Una volta spiegate le operazioni in tal modo, sinceramente non vedo altra necessità per spiegare le funzioni se non dire che esse coincidono con le operazioni, non sarà un modo rigoroso di definirle per carità, ma credo sia più facilmente accessibile.

La definizione matematica di relazione è “un qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano di un insieme per se stesso”. E’ una definizione molto bella per chi abbia sviluppato il senso estetico dell’algebra astratta, purtroppo però per essere compresa necessita di conoscerne alcune premesse insiemistiche di cui ora non ho intenzione di parlare.
Rinunciare ad una definizione rigorosa non comporta tuttavia che non si possa ugualmente parlare di relazioni. Tutti noi abbiamo una qualche nozione di relazione. Per esempio in ambito umano esistono relazioni sentimentali, di amicizia, di lavoro, familiari, che sono appunto relazioni, oppure guardando al tempo abbiamo per esempio relazioni di coincidenza, di anteriorità o di posteriorità. Penso quindi che si possa asserire con tranquillità che tutti noi sappiamo cosa sia una relazione.
Una caratteristica delle relazioni matematicamente intese è che esse sono sempre definite in un certo insieme, mentre quando si estenda il concetto per coprire relazioni tra elementi di insiemi diversi si preferisce chiamarle corrispondenze. Questa distinzione per quanto comunemente accettata ed in uso non è però secondo me così fondamentale, in fondo anche le corrispondenze possono essere definite come sottoinsiemi del prodotto cartesiano (in questo caso tra insiemi diversi anziché del medesimo insieme con se stesso).
Bene, poniamo di avere due amici di nome Giuseppe Garibaldi e Ana Maria de Jasus Ribeiro e che tra loro vi sia una relazione (amorosa), diremo che “Giuseppe e Anita stanno insieme”.
Ora sostituiamo “Giuseppe” e “Anita” con lui e lei: “Lui e lei stanno insieme”. Che cosa è cambiato? Che in testa nostra sarà ancora chiaro di chi stiamo parlando, ma la persona cui dicessimo la nostra frase dovrebbe interpretare alla luce del contesto chi sono questi lui e lei. Senza interpretazione tuttavia non potremmo sapere di chi si parla e la nostra asserzione avrebbe un carattare generico.
Operando una nuova sostituzione si può dire “x ed y stanno insieme”. La proposizione diviene ancora più generica, non abbiamo più informazioni sul genere dei due partecipanti alla relazione e questo comporta che nemmeno il concetto di ’stare insieme’ sia più così chiaro. Potremmo dire per essere più espliciti “x ed y hanno una relazione amorosa”, questo chiarirebbe alcune cose, ma non ci garantirebbe più che tale relazione fosse tra un lui e una lei.
Infine possiamo trasformare la nostra proposizione in questa formula R(x, y), dove R viene intepretata come il predicato “avere una relazione amorosa” ed x, y sono elementi di un qualche insieme, per esempio quello degli esseri umani. Ma potremmo anche porre che x appartenga all’insieme degli uomini e y a quello delle donne. In questo caso R più che una relazione sarebbe una corrispondenza, ma a questo livello un tale zelo lessicale è forse come dicevo superfluo.
Arrivati a questo punto facciamo ancora un’assunzione: che x ed y siano due variabili che rappresentano elementi appartenenti sempre al medesimo insieme, insieme che chiamiamo universo. Questo significa che possiamo sostituire x ed y con qualsiasi elemento del nostro universo. Ma come abbiamo visto poco fa, non solo gli individui possono essere rappresentati dalle variabili, ma anche le relazioni. Prendiamo allora una certa relazione P(x, y). Essa potrebbe essere interpretata per esempio come “x e y sono sposati”, “x e y lavorano insieme”, “x è accaduto insieme ad y”. Ovvero la relazione può essere interpretata come tanti diversi predicati.
Ma a ben vedere perché non considerare anche “x bacia y” come una relazione? Certo di norma la chiameremmo azione, più che non relazione, ma con un’ poca di elasticità… E così arriviamo ad una equivalenza, in un certo senso, tra predicati e relazioni, nel senso che ad ogni predicato possiamo far corrispondere una relazione e viceversa.
Non solo, ma come una relazione tra due elementi di un insieme può esistere oppure no, così un predicato può essere vero o falso, e possiamo legare le due cose dicendo che ogni predicato asserisce una relazione, ed è vero qualor tale relazione sussista, falso qualora essa non sussista. In simboli:
dove P è un qualsiasi predicato (binario) in un qualsiasi universo di discorso ed R è una qualsiasi relazione (binaria) in un qualsiasi insieme.

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In questo post mi sono limitato a relazioni e predicati binari, ovvero con due argomenti, o oggetti. Ma questo non è necessario, è possibile pensare relazioni con infiniti argomenti e perché anche a predicati di tal fatta (anche se nel linguaggio naturale sarà difficile trovare esempi del genere e bisognerà magari inventarsi espressioni ad hoc pre esprimerli). Interessante è anche il caso in cui il predicato sia ad un solo posto di argomento P(x), come in “x è grande”: in tali casi più che di relazioni parliamo allora di proprietà.

Abbiamo già visto come una certa proposizione sia conseguenza di un certo insieme di proposizioni dette premesse se e solo se essa è vera ogni qual volta lo sono tutte le premesse, ovvero: date premesse vere la conclusione per essere tale non può che essere vera, ovvero: se una proposizione è falsa quando tutte le premesse sono vere, allora essa non è conclusione logica di quelle premesse.

Bene, ma che succede se la nostra proposizione candidata ad essere una conseguenza logica di un certo insieme di premesse è sempre vera? Di certo non accadrà mai che la nostra proposizione sia falsa quando le premesse sono vere, poiché che le premesse siano false o vere essa sarà sempre e comunque vera.

Ora chiediamoci: esistono proposizioni che sono sempre vere? Si certo, le abbiamo già viste, sono le tautologie. Ciò significa che una tautologia può essere inferita (dedotta) da un qualsiasi insieme di premesse, vere o false: comunque vada, sarà un successo.

Facciamo un passo oltre. Prendiamo un insieme vuoto di premesse, che poi altri non è che l’insieme vuoto tout court. Non accadrà mai che una tautologia sia falsa quando siano vere le premesse nell’insieme vuoto, non solo perché la tautologia non è mai falsa, ma anche perché di premesse nel vuoto non ce ne sono proprio… quindi possiamo dire di qualsiasi tautologia che essa è derivabile dall’insieme vuoto, ovvero: qualsiasi verità sempiterna è vuota.

Le leggi di De Morgan sono piuttosto famose tra le tautologie. Possono essere formulate come segue:

1° Legge: ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q
2° Legge: ¬(P ∨ Q) ↔ ¬P ∧ ¬Q
3° Legge: P ∧ Q ↔ ¬(¬P ∨ ¬Q)
4° Legge: P ∨ Q ↔ ¬(¬P ∧ ¬Q)

Circa un anno e mezzo fa mentre stavo studiando queste leggi ho scoperto un trucco mnemonico per facilitarne l’apprendimento. Esso si basa sulle simmetrie interne delle quattro leggi. E’ possibile infatti osservare le seguenti regolarità:

• a sinistra vi è una congiunzione se e solo se a destra vi sarà una disgiunzione
• a sinistra vi è una disgiunzione se e solo se a destra vi sarà una congiunzione
• a sinistra vi è negazione dell’intera proposizione complessa se e solo se a destra non vi è tale negazione
• a sinistra non vi è negazione dell’intera proposizione complessa se e solo se a destra vi è tale negazione
• a sinistra vi è negazione di entrambe le proposizioni atomiche se e solo se a destra non vi è tale negazione
• a sinistra non vi è negazione di entrambe le proposizioni atomiche se e solo se a destra vi è tale negazione

Queste osservazioni possono essere riassunte graficamente nella seguente regola mnemonica:

{…} ( {…}P {…} {…}Q ) ↔ {…} ( {…}P {…} {…}Q )

Viola, rosso e giallo stanno per presenza/assenza di una negazione,
il verde sta per congiunzione/disgiunzione,
quel che sta a sinistra non va a destra, quel che non sta a sinistra va a destra.

Dalla regola curiosamente si possono ricavare altre quattro leggi, anch’esse tautologiche:

5° Legge: ¬(¬P ∧ Q) ↔ P ∨ ¬Q
6° Legge: ¬(¬P ∨ Q) ↔ P ∧ ¬Q
7° Legge: ¬P ∧ Q ↔ ¬(P ∨ ¬Q)
8° Legge: ¬P ∨ Q ↔ ¬(P ∧ ¬Q)

Ecco qui di seguito alcuni esempi di tautologie⁽¹⁾. Queste leggi sono tutte sempre vere nel senso del calcolo con le tavole di verità e chi non ci crede può farsi i calcoli per conto proprio… o andarsi a studiare le logiche non classiche…

Per ogni legge (o principio, i due termini sono sinonimi in questo caso) presenterò lo schema simbolico e alcune possibili esemplificazioni (mi permetto una certa flessibilità linguistica nella traduzione dal linguaggio simbolico a quello umano).

Legge della doppia negazione

P ↔ ¬¬P

“‘La mela è rossa’ se e solo se non(non(’La mela è rossa’) “

ovvero: “La mela è rossa se e solo se non accade che essa non sia rossa”

“La terra gira intorno al sole se e solo se non accade che non giri intorno al sole”

“Il mondo fa schifo se e solo se non è vero che sia bello” (dove bello è da intendersi come negazione “non schifo”, quindi in bello dobbiamo far rientrare anche passabile, così così, ecc.)

“Noi siamo umani se e solo se non siamo non umani”

Principio di non contraddizione

¬ (P ∧ ¬P)

“non ( ‘La carne è buona’ e ‘La carne non è buona’)”

ovvero: “Non si da che la carne sia buona e non buona contemporaneamente”

“Non può essere che tu sia colpevole e non colpevole insieme”

“Non accade che un fenomeno accada e non accada al medesimo tempo”

Principio del terzo escluso

P ∨ ¬P

“‘Tu sei vivo’ oppure ‘Tu non sei vivo’”

ovvero: “Tu puoi essere vivo oppure non vivo oppure entrambi, ma non qualcos’altro”

Si ricordi infatti che la disgiunzione in logica ha valore inclusivo:
A ∨ B sta per “A o B o entrambi”
Nella famosa battuta “Vivo o morto, tu verrai con me” invece quel “Vivo o morto” è usato in senso esclusivo, lo stato “vivo” e lo stato “morto” sono incompatibili, questa condizione in logica classica si rende simbolicamente così:
(A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)

Principio di identità

P → P

“‘Il sole è caldo’ implica che ‘ Il sole è caldo’”

ovvero: “Se il sole è caldo, allora il sole è caldo”

“Se la luna è una dea, allora la luna è una dea”

“Se la terra è piatta, allora la terra è piatta”

Ex falso sequitur quodlibet (Dal falso segue qualsivoglia conclusione)

¬P → (P → Q)

“non(’La terra è piatta’) implica che (se ‘La terra è piatta’ allora ‘Il Papa è una persona pia’)”

ovvero “E’ vero che la terra non sia piatta, da cui segue che, se affermo che la terra invece è piatta, cioè affermo il falso, allora ne segue qualsiasi asserzione, per esempio che il papa è una persona pia, e il mio ragionamento è sempre corretto”

Un’altra versione di questa legge (che incorpora in un certo senso il principio di non contraddizione) è la seguente:

(P∧¬P) → Q

“Se ‘io sono buono’ e ‘io non sono buono’, allora ‘il pianeta Marte è un zucca trainata da topi azzurri’”

Quindi da una contraddizione è possibile ricavare qualsiasi proposizione e la nostra inferenza sarà sempre corretta! Ma c’è di più, sarà possibile anche ricavare una nuova contraddizione e la nostra inferenza sarà corretta:
(P∧¬P) → (Q∧¬Q)

Verum sequitor a quolibet (Il vero segue da qualsivoglia proposizione)

P→(Q→P)

“‘Biancaneve è il personaggio di una fiaba’ implica che, se ‘ho visto un corvo rosa’ allora ‘Biancaneve è il personaggio di una fiaba’”

ovvero: “Se è vero che Biancaneve è il personaggio di una fiaba, allora da una qualsiasi proposizione, per esempio ‘ho visto un corvo rosa’, si può dedurre correttamente che Biancaneve è il personaggio di una fiaba”

Questa legge è particolarmente interessante perché ci mostra come sia possibile partendo da un dato vero, inventarci alle spalle una qualsiasi “giustificazione” senza mai incorrere in un errore di ragionamento.
“L’universo esiste, quindi posso dedurre che se un coniglio verde gigante rosicchia gli asteroidi del sistema solare allora l’universo esiste”

Consequentia mirabilis

(¬P → P) → P

“‘Non esiste una verità assoluta’ implica che ‘Esiste una verità assoluta’, quindi ‘Esiste una verità assoluta’”

ovvero: “Se affermo che non esiste una verità assoluta, dato che questa sarebbe una verità assoluta, non posso che dedurre che esiste una verità assoluta”

Ammetto di avere un poco imbrogliato perché ho utilizzato il quantificatore “Esiste”… ma lo schema è comunque lo stesso… Si noti che questa legge non sembra funzionare altrettanto bene in altri casi:

• “Se ‘La vita non è un puffo’ allora ‘La vita è un puffo’, cui segue che ‘la vita è un puffo”
• “Se ‘La morte non esiste’ allora ‘La morte esiste’, cui segue che ‘La morte esiste’”
• “Se ‘Dio non esiste’ allora ‘Dio esiste’, cui segue che ‘Dio esiste’”
• “Se ‘Dio esiste’ allora ‘Dio non esiste’, cui segue che ‘Dio non esiste’”

Eppure anche questi esempi sono sempre veri…

Legge di contrapposizione

(P → Q) → (¬Q → ¬P)

“‘Se piove allora prendo l’ombrello’ da cui ‘Se non prendo l’ombrello, allora non piove’”

Questa l’avevamo già vista qui

Riduzioni all’assurdo

(P → ¬P) → ¬P (debole)

“Mi piacciono le fragole implica che non mi piacciono le fragole, quindi non mi piacciono le fragole”

(P → (Q ∧ ¬Q)) → ¬P (debole)

“Mi piacciono le fragole implica che la luna è fatta di formaggio e non è fatta di formaggio, quindi non mi piacciono le fragole”

(¬P → (Q ∧ ¬Q)) → P (forte)

“Non mi piacciono le fragole implica che la luna è fatta di formaggio e non è fatta di formaggio, quindi mi piacciono le fragole”

Immagino a questo punto che, se esiste ancora un lettore di questo blog, allora sarà sempre più convinto che la logica sia una strada che porta inevitabilmente verso al follia… come dargliene torto…

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(1) Gli schemi delle tautologie sono tratti da Gianni Rigamonti, Corso di logica, Bollati Boringhieri, Torino, 2005 (p.87)

Abbiamo visto come applicando il “calcolo della verità” ci può capitare di incontrare delle formule logiche sempre vere, qualunque sia il valore di verità delle loro componenti di base. E abbiamo già visto che queste formule si chiamano tautologie. Nei prossimi giorni farò una panoramica su alcune tautologie per così dire “storiche”, e che mi sembrano interessanti. Prima però di poter fare ciò è necessario introdurre un altro operatore logico detto bicondizionale. Simboleggiato da una doppia freccia (↔), il bicondizionale si legge “se e solo se”, ed è una sorta di simbolo riassuntivo di questa formula: (P → Q) ∧ (Q → P) Esso indica in un certo senso che due proposizioni si implicano a vicenda così che se una vera lo è anche l’altra, e se l’una è falsa lo sarà anche l’altra. Mi spiego meglio: il bicondizionale sarà valido, cioè darà luogo a formule vere, quando e solo quando⁽¹⁾ le sue due componenti saranno entrambe vere o entrambe false, mentre sarà invalido, cioè darà luogo a formule false, quando e solo quando l’una componente è falsa mentre l’altra è vera o viceversa.

(P	→	Q)	∧	(Q	→	P)
F		F		F		F
F		V		V		F
V		F		F		V
V		V		V		V

Partendo dalla tabella precedente si calcolano i valori delle implicazioni:

(P	→	Q)	∧	(Q	→	P)
F	V	F		F	V	F
F	V	V		V	F	F
V	F	F		F	V	V
V	V	V		V	V	V

Quindi la congiunzione:

(P	→	Q)	∧	(Q	→	P)
F	V	F	V	F	V	F
F	V	V	F	V	F	F
V	F	F	F	F	V	V
V	V	V	V	V	V	V

E infine possiamo riassumere i risultati dei nostri calcoli nel modo seguente:

P	Q	P ↔ Q
F	F	V
F	V	F
V	F	F
V	V	V

Ora supponiamo che esista un lettore che legge questo blog con sufficiente attenzione da ricordare questo post. Questo lettore potrebbe notare che quando in genere noi confondiamo la mera implicazione “Se piove, allora prendo l’ombrello” con la doppia implicazione, cioè il bicondizionale “Prendo l’ombrello se e solo se piove”. Nel primo caso infatti io potrei prendere l’ombrello anche nel caso non piovesse, magari per riportarlo a qualcuno che me lo ha prestato n giorni prima in quanto pioveva. Nel secondo caso, ammesso che il bicondizionale dia luogo ad una formula vera, non accadrà mai che io prenda l’obrello se c’è il sole! Ma supponiamo ancora, supponiamo che il lettore di cui sopra, sia così curioso da provare a rivoltare il bicondizionale dell’esempio trasformanodolo in “Piove se e solo se prendo l’ombrello”. In quanto a logica, o meglio in quanto a valori di verità, non è cambiato nulla… in quanto a senso: credo sarebbe il sogno di ogni sciamano poter dire sincermente “Piove se e solo se faccio la mia danza della pioggia”, per carità lo dicono lo stesso, ma sono proprio ingenui oppure mentono sapendo di mentire.

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(1) Forse qualcuno si sarà accorto che dire “quando e solo quando” oppure “se e solo se” è equivalente, ovvero che il bicondizionale un po’ truccato è finito dentro la sua medesima definizione: giochi di prestigio.

Ieri si parlava delle tabelline della logica elementare. Ma come funzionano esattamente?

(P	∧	Q)	→	(Q	∨	(¬	P)
F		F		F			F
F		V		V			F
V		F		F			V
V		V		V			V

Questa è la base di partenza, che consinte nell’assegnare i valori di verità alle proposizioni presenti nella nostra formula logica. Ora seguendo l’ordine delle parentesi calcoliamo la negazione (in rosso i valori da cui parte il calcolo, in rosso il risultato):

(P	∧	Q)	→	(Q	∨	(¬	P)
F		F		F		V	F
F		V		V		V	F
V		F		F		F	V
V		V		V		F	V

Calcolata la negazione si passa, sempre seguendo l’ordine delle parentesi, alla congiunzione e alla disgiunzione:

(P	∧	Q)	→	(Q	∨	(¬	P
F	F	F		F	V	V	F
F	F	V		V	V	V	F
V	F	F		F	F	F	V
V	V	V		V	V	F	V

E infine si procede con l’implicazione:

(P	∧	Q)	→	(Q	∨	(¬	P)
F	F	F	V	F	V	V	F
F	F	V	V	V	V	V	F
V	F	F	V	F	F	F	V
V	V	V	V	V	V	F	V

Volendo possiamo riassumere i risultati dei nostri calcoli nel modo seguente:

P	Q	(P ∧ Q) → (Q ∨ (¬ P)
F	F	V
F	V	V
V	F	V
V	V	V

Incidentalmente la formulano che abbiamo calcolato è una tautologia, ovvero una formula sempre vera indipendentemente dai valori di verità delle proposizioni di partenza. Ed ora proviamo a sostituire le variabili proposizionali (P, Q) così giusto per vedere un’esemplificazione della nostra fomula… (”La tua rosa è rossa” ∧ “La tua rosa ha le spine” ) → (”La tua rosa ha le spine” ∨ (¬ “La tua rosa è rossa”) Che tradotta per umani: “Se la tua rosa è rossa ed ha le spine, allora la tua rosa ha le spine oppure non è rossa”, e questa proposizione, per un logico⁽¹⁾, è sempre vera… oh yeah!

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(1) Da ciò si può forse comprendere perché la follia sia piuttosto diffusa tra i logici, forse ancor più che tra i mistici… that’s logic, baby!

Ho già parlato di proposizioni. Ma le proposizioni non vivono isolate le une dalle altre, in fondo anche loro hanno una loro vita sociale e possono essere connesse le une alle altre. Vi sono vari tipi di connettivi logici che congiungono proposizioni più semplici dando origine a proposizioni più complesse, per ora tuttavia tratterò brevemente solo quelli estensionali, ovvero quei connettivi in virtù dei quali il valore di verità di una proposizione composta dipende solo ed esclusivamente da quello delle sue componenti.

Negazione “non”

P	¬P
F	V
V	F

Congiunzione “et”

P	Q	P ∧ Q
F	F	F
F	V	F
V	F	F
V	V	V

Disgiunzione “vel” (”oppure” in senso non esclusivo)

P	Q	P ∨ Q
F	F	F
F	V	V
V	F	V
V	V	V

Implicazione “implica”

P	Q	P → Q
F	F	V
F	V	V
V	F	F
V	V	V

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Le tabelle si leggono nel seguente modo:
a. i simboli P e Q sono usati come simboli di generiche proposizioni (sono cioè delle varibili al posto delle quali si può sostituire una proposizione qualsiasi)
b. i simboli V e F sono detti valori di verità, ogni prosizione può essere esclusivamente vera o falsa c. ad ogni colonna è associata una proposizione
d. riga per riga vengono esaurite tutte le combinazioni possibili di valori di verità delle varie proposizioni__si ricordi che il valore di verità delle composte non può essere qualsiasi, ma dipende da quello delle componenti, altrimenti avremmo 4(=2²) righe anziché 2 nella prima tabella e 8(=2³) righe anziché 4 nelle altre.

Date premesse vere, la conclusione non può che esser vera. Quando ci troviamo in questa situazione abbiamo una conseguenza logica. Dato un certo insieme di proposizioni, non possono essere tutte vere. Quando ci troviamo in questa situazione abbiamo una contraddizione logica. Minimalismo logico… Anche la logica ha la sua corrente minimalista, come l’arte… infatti può accadere che un insieme di proposizioni che danno luogo a contraddizione sia tale per cui se togliamo una qualsiasi delle proposizioni, la contraddizione scompare, in questo caso si parla di insieme contraddittorio minimale. Una contraddizione evidente⁽¹⁾… forse… “Io sono calvo”, “Io non sono calvo”. Se le prendiamo insieme queste due proposizioni generano una contraddizione, evidente no? O uno è calvo o uno non lo è, giusto? Ora supponiamo di avere un insieme di n proposizioni, è chiaro che sarà abbastanza semplice capire se l’insieme è contraddittorio se almeno due di queste proposizioni danno origine ad una contraddizione evidente (certo se l’insieme di proposizioni è infinito, ehm ci potrebbe volere parecchio tempo a scoprirla… anche infinito tempo…). Non sempre però le contraddizioni sono evidenti, ovvero non sempre ci troviamo di fronte ad un contraddizione del tipo P e non(P) , e una possibile strategia per dimostrare che esiste comunque una contraddizione sarà quella di “lavorare” sull’insieme di proposizioni di partenza derivando varie conseguenze e controllare se alcune di queste danno luogo a contraddizioni evidenti oppure no. Contraddizioni basate su assunti impliciti⁽²⁾ In base a quanto detto prima abbiamo visto che alcune contraddizioni possono essere già presenti nell’insieme di proposizioni di partenza, ma non essendo evidenti c’è bisogno in un certo senso di farle venire allo scoperto. Tuttavia, può accadere anche che datoci un certo insieme di proposizioni ci rendiamo conto immediatamente che in esso è presente una contraddizione pur non essendo presente alcuna contraddizione evidente. In genere questo è dovuto al fatto che senza rendercene conto abbiamo preso in considerazione nel nostro ragionamento degli assunti impliciti, ovvero delle altre proposizioni che non sono presenti nell’insieme di partenza ma che consideriamo implicite in esso. Faccio un esempio per chiarire: “x è un corvo.” “x è bianco.” Bene questo insieme di proposizioni di per se non genera alcuna contraddizione. Ma qualcuno potrebbe obiettare che invece c’è una contraddizione, assumendo implicitamente che “Tutti i corvi sono neri”! Esplicitando tale premessa l’insieme di proposizioni in esame diverrebbe: “Per ogni x, se x è un corvo, allora x è nero” “x è un corvo.” “x è bianco.” A questo punto credo la maggior parte di noi affermerebbe con sicurezza che tale insieme di proposizioni è di per se contraddittorio, vorrei far notare che abbiamo tutti fatto un’ ulteriore assunzione implicita, ovvero che nero non sia bianco… Dalla contraddizione alla conseguenza e ritorno… Abbiamo detto che dato un insieme contraddittorio minimale, se togliamo una qualsiasi proposizione P, la contraddizione scompare. Ma c’è di più! Prendiamo l’insieme di proposizioni che ci è rimasto dopo avere tolto P e chiamiamolo I. Prendiamo P e neghiamola, avremo non(P). Bene, guarda caso non(P) è proprio conseguenza logica di I. Non solo ma se abbiamo un insieme di premesse A da cui deriva una conclusione C e aggiungiamo ad A la proposizione non(C) otterremo un insieme contraddittorio (minimale). Trasmissione della verità e retro-trasmissione⁽³⁾ della falsità… La conseguenza logica può essere spiegata anche dicendo che essa trasmette la verità dalla premesse alla conclusione, o se preferite che conserva la verità lungo tutto il ragionamento: partendo da premesse vere si arriva inevitabilmente a conclusioni vere. Ma cosa possiamo capire se ci imbattiamo in una conseguenza di un ragionamento falsa? Bene, se la premesse sono tutte vere e il ragionamento è corretto avremmo dovuto ottenere una conseguenza vera, ma ci troviamo invece di fronte ad una conseguenza falsa, quindi, ammesso che il ragionamento sia corretto, almeno una premessa deve esser falsa (perché se così non fosse e tutte le premesse fossero vere allora anche la conseguenza in cui ci siamo imbattuti dovrebbe esser vera). In un certo senso quindi è come se la falsità scoperta alla fine del ragionamento, cioè letteralmente alla sua conclusione, si ritrasmettesse all’indietro falsificando almeno una delle premesse.

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(1) Gianni Rigamonti nel suo Corso di Logica, Bollati Boringhieri, Torino 2005, (Capitolo 2.4: I diversi tipi di contraddizione), usa “conclamato” dove io uso “evidente”, ho preferito tale terminologia perché mi sembrava più immediata anche se forse meno precisa. (2) vedi a nota precendente in questo caso leggi “non-entimematico” dove io scrivo implicito. (3) in Karl Popper, La ricerca non ha fine, Armando Editore, Roma 1997, (Sezione 32: Induzione, deduzione, verità oggetiva). Dario Antiseri nella versione italiana traduce con “ritrasmissione” una qualche espressione inglese dell’edizione originale, purtroppo non ho (ancora) sottomano tale edizione e ho preferito arbitrarimente utilizzare un’orrenda (ma credo chiara) “retro-trasmissione”, pur essendo profondamente tentato da una forse errata “retroazione”.